植樹問題、雞兔問題…小學數學無非這「30類題」,孩子吃透次次考100

今天將小學數學最經典的30個題型整理了出來,希望可以幫助學生更好地學習數學!有條件的家長可以打印出來,陪孩子復習鞏固。記得傳給身邊有需要的人哦!!

1、歸一問題

2、歸總問題

3、和差問題

4、和倍問題

5、差倍問題

6、倍比問題

7、相遇問題

8、追及問題

9、植樹問題

10、年齡問題

11、行船問題

12、列車問題

13、時鐘問題

14、盈虧問題

15、工程問題

16、正反比例問題

17、按比例分配

18、百分數問題

19、「牛吃草」問題

20、雞兔同籠問題

21、方陣問題

22、商品利潤問題

23、存款利率問題

24、溶液濃度問題

25、構圖布數問題

26、幻方問題

27、抽屜原則問題

28、公約公倍問題

29、最值問題

30、列方程問題

1、歸一問題

【含義】在解題時,先求出一份是多少(即單一量),然后以單一量為標準,求出所要求的數量。這類應用題叫做歸一問題。

【數量關系】總量÷份數=1份數量

1份數量×所占份數=所求幾份的數量

另一總量÷(總量÷份數)=所求份數

【解題思路和方法】先求出單一量,以單一量為標準,求出所要求的數量。

例1 買5支鉛筆要0.6元錢,買同樣的鉛筆16支,需要多少錢?

解:

(1)買1支鉛筆多少錢?0.6÷5=0.12(元)

(2)買16支鉛筆需要多少錢?0.12×16=1.92(元)

列成綜合算式0.6÷5×16=0.12×16=1.92(元)

答:需要1.92元。

例2 3台拖拉機3天耕地90公頃,照這樣計算,5台拖拉機6天耕地多少公頃?

解:

(1)1台拖拉機1天耕地多少公頃?90÷3÷3=10(公頃)

(2)5台拖拉機6天耕地多少公頃?10×5×6=300(公頃)

列成綜合算式90÷3÷3×5×6=10×30=300(公頃)

答:5台拖拉機6天耕地300公頃。

例3 5輛汽車4次可以運送100噸鋼材,如果用同樣的7輛汽車運送105噸鋼材,需要運幾次?

解:

(1)1輛汽車1次能運多少噸鋼材?100÷5÷4=5(噸)

(2)7輛汽車1次能運多少噸鋼材?5×7=35(噸)

(3)105噸鋼材7輛汽車需要運幾次?105÷35=3(次)

列成綜合算式105÷(100÷5÷4×7)=3(次)

答:需要運3次。

2、歸總問題

【含義】解題時,常常先找出「總數量」,然后再根據其它條件算出所求的問題,叫歸總問題。所謂「總數量」是指貨物的總價、幾小時(幾天)的總工作量、幾公畝地上的總產量、幾小時行的總路程等。

【數量關系】1份數量×份數=總量

總量÷1份數量=份數

總量÷另一份數=另一每份數量

【解題思路和方法】先求出總數量,再根據題意得出所求的數量。

例1 服裝廠原來做一套衣服用布3.2米,改進裁剪方法后,每套衣服用布2.8米。原來做791套衣服的布,現在可以做多少套?

解:

(1)這批布總共有多少米?3.2×791=2531.2(米)

(2)現在可以做多少套?2531.2÷2.8=904(套)

列成綜合算式3.2×791÷2.8=904(套)

答:現在可以做904套。

例2 小華每天讀24頁書,12天讀完了《紅巖》一書。小明每天讀36頁書,幾天可以讀完《紅巖》?

解:

(1)《紅巖》這本書總共多少頁?24×12=288(頁)

(2)小明幾天可以讀完《紅巖》?288÷36=8(天)

列成綜合算式24×12÷36=8(天)

答:小明8天可以讀完《紅巖》。

例3 食堂運來一批蔬菜,原計劃每天吃50千克,30天慢慢消費完這批蔬菜。后來根據大家的意見,每天比原計劃多吃10千克,這批蔬菜可以吃多少天?

解:

(1)這批蔬菜共有多少千克?50×30=1500(千克)

(2)這批蔬菜可以吃多少天?1500÷(50+10)=25(天)

列成綜合算式50×30÷(50+10)=1500÷60=25(天)

答:這批蔬菜可以吃25天。

3、和差問題

【含義】已知兩個數量的和與差,求這兩個數量各是多少,這類應用題叫和差問題。

【數量關系】大數=(和+差)÷2

小數=(和-差)÷2

【解題思路和方法】簡單的題目可以直接套用公式;復雜的題目變通后再用公式。

例1 甲乙兩班共有學生98人,甲班比乙班多6人,求兩班各有多少人?

解:

甲班人數=(98+6)÷2=52(人)

乙班人數=(98-6)÷2=46(人)

答:甲班有52人,乙班有46人。

例2 長方形的長和寬之和為18厘米,長比寬多2厘米,求長方形的面積。

解:

長=(18+2)÷2=10(厘米)

寬=(18-2)÷2=8(厘米)

長方形的面積=10×8=80(平方厘米)

答:長方形的面積為80平方厘米。

例3 有甲乙丙三袋化肥,甲乙兩袋共重32千克,乙丙兩袋共重30千克,甲丙兩袋共重22千克,求三袋化肥各重多少千克。

解:

甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙,從中可以看出甲比丙多(32-30)=2千克,且甲是大數,丙是小數。由此可知

甲袋化肥重量=(22+2)÷2=12(千克)

丙袋化肥重量=(22-2)÷2=10(千克)

乙袋化肥重量=32-12=20(千克)

答:甲袋化肥重12千克,乙袋化肥重20千克,丙袋化肥重10千克。

例4 甲乙兩車原來共裝蘋果97筐,從甲車取下14筐放到乙車上,結果甲車比乙車還多3筐,兩車原來各裝蘋果多少筐?

解:

「從甲車取下14筐放到乙車上,結果甲車比乙車還多3筐」,這說明甲車是大數,乙車是小數,甲與乙的差是(14×2+3),甲與乙的和是97,因此

甲車筐數=(97+14×2+3)÷2=64(筐)

乙車筐數=97-64=33(筐)

答:甲車原來裝蘋果64筐,乙車原來裝蘋果33筐。

4、和倍問題

【含義】已知兩個數的和及大數是小數的幾倍(或小數是大數的幾分之幾),要求這兩個數各是多少,這類應用題叫做和倍問題。

【數量關系】總和÷(幾倍+1)=較小的數

總和-較小的數=較大的數

較小的數×幾倍=較大的數

【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式,復雜的題目變通后利用公式。

例1 果園里有杏樹和桃樹共248棵,桃樹的棵數是杏樹的3倍,求杏樹、桃樹各多少棵?

解:

(1)杏樹有多少棵?248÷(3+1)=62(棵)

(2)桃樹有多少棵?62×3=186(棵)

答:杏樹有62棵,桃樹有186棵。

例2 東西兩個倉庫共存糧480噸,東庫存糧數是西庫存糧數的1.4倍,求兩庫各存糧多少噸?

解:

(1)西庫存糧數=480÷(1.4+1)=200(噸)

(2)東庫存糧數=480-200=280(噸)

答:東庫存糧280噸,西庫存糧200噸。

例3 甲站原有車52輛,乙站原有車32輛,若每天從甲站開往乙站28輛,從乙站開往甲站24輛,幾天后乙站車輛數是甲站的2倍?

解:

每天從甲站開往乙站28輛,從乙站開往甲站24輛,相當于每天從甲站開往乙站(28-24)輛。把幾天以后甲站的車輛數當作1倍量,這時乙站的車輛數就是2倍量,兩站的車輛總數(52+32)就相當于(2+1)倍,

那麼,幾天以后甲站的車輛數減少為

(52+32)÷(2+1)=28(輛)

所求天數為(52-28)÷(28-24)=6(天)

答:6天以后乙站車輛數是甲站的2倍。

例4 甲乙丙三數之和是170,乙比甲的2倍少4,丙比甲的3倍多6,求三數各是多少?

解:

乙丙兩數都與甲數有直接關系,因此把甲數作為1倍量。

因為乙比甲的2倍少4,所以給乙加上4,乙數就變成甲數的2倍;

又因為丙比甲的3倍多6,所以丙數減去6就變為甲數的3倍;

這時(170+4-6)就相當于(1+2+3)倍。那麼,

甲數=(170+4-6)÷(1+2+3)=28

乙數=28×2-4=52

丙數=28×3+6=90

答:甲數是28,乙數是52,丙數是90。

5、差倍問題

【含義】已知兩個數的差及大數是小數的幾倍(或小數是大數的幾分之幾),要求這兩個數各是多少,這類應用題叫做差倍問題。

【數量關系】兩個數的差÷(幾倍-1)=較小的數

較小的數×幾倍=較大的數

【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式,復雜的題目變通后利用公式。

例1 果園里桃樹的棵數是杏樹的3倍,而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵?

解:

(1)杏樹有多少棵?124÷(3-1)=62(棵)

(2)桃樹有多少棵?62×3=186(棵)

答:果園里杏樹是62棵,桃樹是186棵。

例2 爸爸比兒子大27歲,今年,爸爸的年齡是兒子年齡的4倍,求父子二人今年各是多少歲?

解:

(1)兒子年齡=27÷(4-1)=9(歲)

(2)爸爸年齡=9×4=36(歲)

答:父子二人今年的年齡分別是36歲和9歲。

例3 商場改革經營管理辦法后,本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元,又知本月盈利比上月盈利多30萬元,求這兩個月盈利各是多少萬元?

解:

如果把上月盈利作為1倍量,則(30-12)萬元就相當于上月盈利的(2-1)倍,因此

上月盈利=(30-12)÷(2-1)=18(萬元)

本月盈利=18+30=48(萬元)

答:上月盈利是18萬元,本月盈利是48萬元。

例4 糧庫有94噸小麥和138噸玉米,如果每天運出小麥和玉米各是9噸,問幾天后剩下的玉米是小麥的3倍?

解:

由于每天運出的小麥和玉米的數量相等,所以剩下的數量差等于原來的數量差(138-94)。把幾天后剩下的小麥看作1倍量,則幾天后剩下的玉米就是3倍量,那麼,(138-94)就相當于(3-1)倍,因此

剩下的小麥數量=(138-94)÷(3-1)=22(噸)

運出的小麥數量=94-22=72(噸)

運糧的天數=72÷9=8(天)

答:8天以后剩下的玉米是小麥的3倍。

6、倍比問題

【含義】有兩個已知的同類量,其中一個量是另一個量的若干倍,解題時先求出這個倍數,再用倍比的方法算出要求的數,這類應用題叫做倍比問題。

【數量關系】總量÷一個數量=倍數

另一個數量×倍數=另一總量

【解題思路和方法】先求出倍數,再用倍比關系求出要求的數。

例1 100千克油菜籽可以榨油40千克,現在有油菜籽3700千克,可以榨油多少?

解:

(1)3700千克是100千克的多少倍?3700÷100=37(倍)

(2)可以榨油多少千克?40×37=1480(千克)

列成綜合算式40×(3700÷100)=1480(千克)

答:可以榨油1480千克。

例2 今年植樹節這天,某小學300名師生共植樹400棵,照這樣計算,全縣48000名師生共植樹多少棵?

解:

(1)48000名是300名的多少倍?48000÷300=160(倍)

(2)共植樹多少棵?400×160=64000(棵)

列成綜合算式400×(48000÷300)=64000(棵)

答:全縣48000名師生共植樹64000棵。

例3 鳳翔縣今年蘋果大豐收,田家莊一戶人家4畝果園收入11111元,照這樣計算,全鄉800畝果園共收入多少元?全縣16000畝果園共收入多少元?

解:

(1)800畝是4畝的幾倍?800÷4=200(倍)

(2)800畝收入多少元?11111×200=2222200(元)

(3)16000畝是800畝的幾倍?16000÷800=20(倍)

(4)16000畝收入多少元?2222200×20=44444000(元)

答:全鄉800畝果園共收入2222200元,全縣16000畝果園共收入44444000元。

7、相遇問題

【含義】兩個運動的物體同時由兩地出發相向而行,在途中相遇。這類應用題叫做相遇問題。

【數量關系】相遇時間=總路程÷(甲速+乙速)

總路程=(甲速+乙速)×相遇時間

【解題思路和方法】簡單的題目可直接利用公式,復雜的題目變通后再利用公式。

例1 南京到上海的水路長392千米,同時從兩港各開出一艘輪船相對而行,從南京開出的船每小時行28千米,從上海開出的船每小時行21千米,經過幾小時兩船相遇?

解:392÷(28+21)=8(小時)

答:經過8小時兩船相遇。

例2 小李和小劉在周長為400米的環形跑道上跑步,小李每秒鐘跑5米,小劉每秒鐘跑3米,他們從同一地點同時出發,反向而跑,那麼,二人從出發到第二次相遇需多長時間?

解:

「第二次相遇」可以理解為二人跑了兩圈。

因此總路程為400×2

相遇時間=(400×2)÷(5+3)=100(秒)

答:二人從出發到第二次相遇需100秒時間。

例3 甲乙二人同時從兩地騎腳踏車相向而行,甲每小時行15千米,乙每小時行13千米,兩人在距中點3千米處相遇,求兩地的距離。

解:

「兩人在距中點3千米處相遇」是正確理解本題題意的關鍵。從題中可知甲騎得快,乙騎得慢,甲過了中點3千米,乙距中點3千米,就是說甲比乙多走的路程是(3×2)千米,因此,

相遇時間=(3×2)÷(15-13)=3(小時)

兩地距離=(15+13)×3=84(千米)

答:兩地距離是84千米。

8、追及問題

【含義】兩個運動物體在不同地點同時出發(或者在同一地點而不是同時出發,或者在不同地點又不是同時出發)作同向運動,在后面的,行進速度要快些,在前面的,行進速度較慢些,在一定時間之內,后面的追上前面的物體。這類應用題就叫做追及問題。

【數量關系】追及時間=追及路程÷(快速-慢速)

追及路程=(快速-慢速)×追及時間

【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式,復雜的題目變通后利用公式。

例1 好馬每天走120千米,劣馬每天走75千米,劣馬先走12天,好馬幾天能追上劣馬?

解:

(1)劣馬先走12天能走多少千米?75×12=900(千米)

(2)好馬幾天追上劣馬?900÷(120-75)=20(天)

列成綜合算式75×12÷(120-75)=900÷45=20(天)

答:好馬20天能追上劣馬。

例2 小明和小亮在200米環形跑道上跑步,小明跑一圈用40秒,他們從同一地點同時出發,同向而跑。小明第一次追上小亮時跑了500米,求小亮的速度是每秒多少米。

解:

小明第一次追上小亮時比小亮多跑一圈,即200米,此時小亮跑了(500-200)米,要知小亮的速度,須知追及時間,即小明跑500米所用的時間。又知小明跑200米用40秒,則跑500米用[40×(500÷200)]秒,所以小亮的速度是

(500-200)÷[40×(500÷200)]=300÷100=3(米)

答:小亮的速度是每秒3米。

例3 我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人,敵人在下午16點開始從甲地以每小時10千米的速度逃跑,解放軍在晚上22點接到命令,以每小時30千米的速度開始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米,問解放軍幾個小時可以追上敵人?

解:

敵人逃跑時間與解放軍追擊時間的時差是(22-16)小時,這段時間敵人逃跑的路程是[10×(22-16)]千米,甲乙兩地相距60千米。由此推知

追及時間=[10×(22-16)+60]÷(30-10)=120÷20=6(小時)

答:解放軍在6小時后可以追上敵人。

例4 一輛客車從甲站開往乙站,每小時行48千米;一輛貨車同時從乙站開往甲站,每小時行40千米,兩車在距兩站中點16千米處相遇,求甲乙兩站的距離。

解:

這道題可以由相遇問題轉化為追及問題來解決。從題中可知客車落后于貨車(16×2)千米,客車追上貨車的時間就是前面所說的相遇時間,

這個時間為16×2÷(48-40)=4(小時)

所以兩站間的距離為(48+40)×4=352(千米)

列成綜合算式(48+40)×[16×2÷(48-40)]=88×4=352(千米)

答:甲乙兩站的距離是352千米。

例5 兄妹二人同時由家上學,哥哥每分鐘走90米,妹妹每分鐘走60米。哥哥到校門口時發現忘記帶課本,立即沿原路回家去取,行至離校180米處和妹妹相遇。問他們家離學校有多遠?

解:

要求距離,速度已知,所以關鍵是求出相遇時間。從題中可知,在相同時間(從出發到相遇)內哥哥比妹妹多走(180×2)米,這是因為哥哥比妹妹每分鐘多走(90-60)米,

那麼,二人從家出走到相遇所用時間為

180×2÷(90-60)=12(分鐘)

家離學校的距離為90×12-180=900(米)

答:家離學校有900米遠。

例6 孫亮打算上課前5分鐘到學校,他以每小時4千米的速度從家步行去學校,當他走了1千米時,發現手表慢了10分鐘,因此立即跑步前進,到學校恰好準時上課。后來算了一下,如果孫亮從家一開始就跑步,可比原來步行早9分鐘到學校。求孫亮跑步的速度。

解:

手表慢了10分鐘,就等于晚出發10分鐘,如果按原速走下去,就要遲到(10-5)分鐘,后段路程跑步恰準時到學校,說明后段路程跑比走少用了(10-5)分鐘。如果從家一開始就跑步,可比步行少9分鐘,由此可知,行1千米,跑步比步行少用[9-(10-5)]分鐘。

所以步行1千米所用時間為1÷[9-(10-5)]=0.25(小時)=15(分鐘)

跑步1千米所用時間為15-[9-(10-5)]=11(分鐘)

跑步速度為每小時1÷11/60=5.5(千米)

答:孫亮跑步速度為每小時5.5千米。

9、植樹問題

【含義】按相等的距離植樹,在距離、棵距、棵數這三個量之間,已知其中的兩個量,要求第三個量,這類應用題叫做植樹問題。

【數量關系】線形植樹棵數=距離÷棵距+1

圓形植樹棵樹=圓形周長÷棵距

閉合環形植樹棵數=距離÷棵距方形植樹棵數=方形周長÷棵距

三角形棵樹=三角形周長÷棵距

面積植樹棵數=面積÷(棵距×行距)

【解題思路和方法】先弄清楚植樹問題的類型,然后可以利用公式。

例1 一條河堤136米,每隔2米栽一棵垂柳,頭尾都栽,一共要栽多少棵垂柳?

解:136÷2+1=68+1=69(棵)

答:一共要栽69棵垂柳。

例2 一個圓形池塘周長為400米,在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹,一共能栽多少棵白楊樹?

解:400÷4=100(棵)

答:一共能栽100棵白楊樹。

例3 一個正方形的運動場,每邊長220米,每隔8米安裝一個照明燈,一共可以安裝多少個照明燈?

解:220×4÷8=106(個)

答:一共可以安裝106個照明燈。

例4 給一個面積為96平方公尺的住宅鋪設地板磚,所用地板磚的長和寬分別是60厘米和40厘米,問至少需要多少塊地板磚?

解:96÷(0.6×0.4)=96÷0.24=400(塊)

答:至少需要400塊地板磚。

例5 一座大橋長500米,給橋兩邊的電桿上安裝路燈,若每隔50米有一個電桿,每個電桿上安裝2盞路燈,一共可以安裝多少盞路燈?

解:

(1)橋的一邊有多少個電桿?500÷50+1=11(個)

(2)橋的兩邊有多少個電桿?11×2=22(個)

(3)大橋兩邊可安裝多少盞路燈?22×2=44(盞)

答:大橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。

10、年齡問題

【含義】這類問題是根據題目的內容而得名,它的主要特點是兩人的年齡差不變,但是,兩人年齡之間的倍數關系隨著年齡的增長在發生變化。

【數量關系】年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯系,尤其與差倍問題的解題思路是一致的,要緊緊抓住「年齡差不變」這個特點。

【解題思路和方法】可以利用「差倍問題」的解題思路和方法。

兩個數的差÷(幾倍-1)=較小的數

例1 爸爸今年35歲,亮亮今年5歲,今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍?明年呢?

解:35÷5=7(倍)

(35+1)÷(5+1)=6(倍)

答:今年爸爸的年齡是亮亮的7倍,

明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。

例2 母親今年37歲,女兒今年7歲,幾年后母親的年齡是女兒的4倍?

解:

(1)母親比女兒的年齡大多少歲?37-7=30(歲)

(2)幾年后母親的年齡是女兒的4倍?30÷(4-1)-7=3(年)

列成綜合算式(37-7)÷(4-1)-7=3(年)

答:3年后母親的年齡是女兒的4倍。

例3 3年前父子的年齡和是49歲,今年父親的年齡是兒子年齡的4倍,父子今年各多少歲?

解:

今年父子的年齡和應該比3年前增加(3×2)歲,

今年二人的年齡和為49+3×2=55(歲)

把今年兒子年齡作為1倍量,則今年父子年齡和相當于(4+1)倍,因此,今年兒子年齡為55÷(4+1)=11(歲)

今年父親年齡為11×4=44(歲)

答:今年父親年齡是44歲,兒子年齡是11歲。

例4 甲對乙說:「當我的歲數曾經是你現在的歲數時,你才4歲」。乙對甲說:「當我的歲數將來是你現在的歲數時,你將61歲」。求甲乙現在的歲數各是多少?(可用方程解)

解:

這里涉及到三個年份:過去某一年、今年、將來某一年。列表分析:

過去某一年

今 年

將來某一年

□歲

△歲

61歲

4歲

□歲

△歲

表中兩個「□」表示同一個數,兩個「△」表示同一個數。

因為兩個人的年齡差總相等:□-4=△-□=61-△,也就是4,□,△,61成等差數列,所以,61應該比4大3個年齡差,

因此二人年齡差為(61-4)÷3=19(歲)

甲今年的歲數為△=61-19=42(歲)

乙今年的歲數為□=42-19=23(歲)

答:甲今年的歲數是42歲,乙今年的歲數是23歲。

11、行船問題

【含義】行船問題也就是與航行有關的問題。解答這類問題要弄清船速與水速,船速是船只本身航行的速度,也就是船只在靜水中航行的速度;水速是水流的速度,船只順水航行的速度是船速與水速之和;船只逆水航行的速度是船速與水速之差。

【數量關系】(順水速度+逆水速度)÷2=船速

(順水速度-逆水速度)÷2=水速

順水速=船速+水速=逆水速+水速×2

逆水速=船速-水速=順水速-水速×2

【解題思路和方法】大多數情況可以直接利用數量關系的公式。

例1 一只船順水行320千米需用8小時,水流速度為每小時15千米,這只船逆水行這段路程需用幾小時?

解:

由條件知,順水速=船速+水速=320÷8,而水速為每小時15千米,

所以,船速為每小時320÷8-15=25(千米)

船的逆水速為25-15=10(千米)

船逆水行這段路程的時間為320÷10=32(小時)

答:這只船逆水行這段路程需用32小時。

例2 甲船逆水行360千米需18小時,返回原地需10小時;乙船逆水行同樣一段距離需15小時,返回原地需多少時間?

解:

由題意得甲船速+水速=360÷10=36

甲船速-水速=360÷18=20

可見(36-20)相當于水速的2倍,

所以,水速為每小時(36-20)÷2=8(千米)

又因為,乙船速-水速=360÷15,

所以,乙船速為360÷15+8=32(千米)

乙船順水速為32+8=40(千米)

所以,乙船順水航行360千米需要360÷40=9(小時)

答:乙船返回原地需要9小時。

例3 一架飛機飛行在兩個城市之間,飛機的速度是每小時576千米,風速為每小時24千米,飛機逆風飛行3小時到達,順風飛回需要幾小時?

解:這道題可以按照流水問題來解答。

(1)兩城相距多少千米?(576-24)×3=1656(千米)

(2)順風飛回需要多少小時?1656÷(576+24)=2.76(小時)

列成綜合算式[(576-24)×3]÷(576+24)=2.76(小時)

答:飛機順風飛回需要2.76小時。

12、列車問題

【含義】這是與列車行駛有關的一些問題,解答時要注意列車車身的長度。

【數量關系】火車過橋:過橋時間=(車長+橋長)÷車速

火車追及:追及時間=(甲車長+乙車長+距離)÷(甲車速-乙車速)

火車相遇:相遇時間=(甲車長+乙車長+距離)÷(甲車速+乙車速)

【解題思路和方法】大多數情況可以直接利用數量關系的公式。

例1 一座大橋長2400米,一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋,從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米?

解:

火車3分鐘所行的路程,就是橋長與火車車身長度的和。

(1)火車3分鐘行多少米?900×3=2700(米)

(2)這列火車長多少米?2700-2400=300(米)

列成綜合算式900×3-2400=300(米)

答:這列火車長300米。

例2 一列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋,用了2分5秒鐘時間,求大橋的長度是多少米?

解:

火車過橋所用的時間是2分5秒=125秒,所走的路程是(8×125)米,這段路程就是(200米+橋長),所以,橋長為

8×125-200=800(米)

答:大橋的長度是800米。

例3 一列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛,一列長140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕,求快車從追上到追過慢車需要多長時間?

解:

從追上到追過,快車比慢車要多行(225+140)米,而快車比慢車每秒多行(22-17)米,因此,所求的時間為

(225+140)÷(22-17)=73(秒)

答:需要73秒。

例4 一列長150米的列車以每秒22米的速度行駛,有一個扳道工人以每秒3米的速度迎面走來,那麼,火車從工人身旁駛過需要多少時間?

解:

如果把人看作一列長度為零的火車,原題就相當于火車相遇問題。

150÷(22+3)=6(秒)

答:火車從工人身旁駛過需要6秒鐘。

例5 一列火車穿越一條長2000米的隧道用了88秒,以同樣的速度通過一條長1250米的大橋用了58秒。求這列火車的車速和車身長度各是多少?

解:

車速和車長都沒有變,但通過隧道和大橋所用的時間不同,是因為隧道比大橋長。可知火車在(88-58)秒的時間內行駛了(2000-1250)米的路程,因此,火車的車速為每秒

(2000-1250)÷(88-58)=25(米)

進而可知,車長和橋長的和為(25×58)米,

因此,車長為25×58-1250=200(米)

答:這列火車的車速是每秒25米,車身長200米。

13、時鐘問題

【含義】就是研究鐘面上時針與分針關系的問題,如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時鐘問題可與追及問題相類比。

【數量關系】分針的速度是時針的12倍,

二者的速度差為11/12。

通常按追及問題來對待,也可以按差倍問題來計算。

【解題思路和方法】變通為「追及問題」后可以直接利用公式。

例1 從時針指向4點開始,再經過多少分鐘時針正好與分針重合?

解:

鐘面的一周分為60格,分針每分鐘走一格,每小時走60格;時針每小時走5格,每分鐘走5/60=1/12格。每分鐘分針比時針多走(1-1/12)=11/12格。4點整,時針在前,分針在后,兩針相距20格。所以

分針追上時針的時間為20÷(1-1/12)≈22(分)

答:再經過22分鐘時針正好與分針重合。

例2 四點和五點之間,時針和分針在什麼時候成直角?

解:

鐘面上有60格,它的1/4是15格,因而兩針成直角的時候相差15格(包括分針在時針的前或后15格兩種情況)。四點整的時候,分針在時針后(5×4)格,如果分針在時針后與它成直角,那麼分針就要比時針多走(5×4-15)格,如果分針在時針前與它成直角,那麼分針就要比時針多走(5×4+15)格。再根據1分鐘分針比時針多走(1-1/12)格就可以求出二針成直角的時間。

(5×4-15)÷(1-1/12)≈6(分)

(5×4+15)÷(1-1/12)≈38(分)

答:4點06分及4點38分時兩針成直角。

例3 六點與七點之間什麼時候時針與分針重合?

解:

六點整的時候,分針在時針后(5×6)格,分針要與時針重合,就得追上時針。這實際上是一個追及問題。

(5×6)÷(1-1/12)≈33(分)

答:6點33分的時候分針與時針重合。

14、盈虧問題

【含義】根據一定的人數,分配一定的物品,在兩次分配中,一次有余(盈),一次不足(虧),或兩次都有余,或兩次都不足,求人數或物品數,這類應用題叫做盈虧問題。

【數量關系】一般地說,在兩次分配中,如果一次盈,一次虧,則有:

參加分配總人數=(盈+虧)÷分配差

如果兩次都盈或都虧,則有:

參加分配總人數=(大盈-小盈)÷分配差

參加分配總人數=(大虧-小虧)÷分配差

【解題思路和方法】大多數情況可以直接利用數量關系的公式。

例1 給幼兒園小朋友分蘋果,若每人分3個就余11個;若每人分4個就少1個。問有多少小朋友?有多少個蘋果?

解:

按照「參加分配的總人數=(盈+虧)÷分配差」的數量關系:

(1)有小朋友多少人?(11+1)÷(4-3)=12(人)

(2)有多少個蘋果?3×12+11=47(個)

答:有小朋友12人,有47個蘋果。

例2 修一條公路,如果每天修260米,修完全長就得延長8天;如果每天修300米,修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米?

解:

題中原定完成任務的天數,就相當于「參加分配的總人數」,按照「參加分配的總人數=(大虧-小虧)÷分配差」的數量關系,可以得知

原定完成任務的天數為

(260×8-300×4)÷(300-260)=22(天)

這條路全長為300×(22+4)=7800(米)

答:這條路全長7800米。

例3 學校組織春游,如果每輛車坐40人,就余下30人;如果每輛車坐45人,就剛好坐完。問有多少車?多少人?

解:

本題中的車輛數就相當于「參加分配的總人數」,于是就有

(1)有多少車?(30-0)÷(45-40)=6(輛)

(2)有多少人?40×6+30=270(人)

答:有6輛車,有270人。

15、工程問題

【含義】工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關系。這類問題在已知條件中,常常不給出工作量的具體數量,只提出「一項工程」、「一塊土地」、「一條水渠」、「一件工作」等,在解題時,常常用單位「1」表示工作總量。

【數量關系】解答工程問題的關鍵是把工作總量看作「1」,這樣,工作效率就是工作時間的倒數(它表示單位時間內完成工作總量的幾分之幾),進而就可以根據工作量、工作效率、工作時間三者之間的關系列出算式。

工作量=工作效率×工作時間

工作時間=工作量÷工作效率

工作時間=總工作量÷(甲工作效率+乙工作效率)

【解題思路和方法】變通后可以利用上述數量關系的公式。

例1 一項工程,甲隊單獨做需要10天完成,乙隊單獨做需要15天完成,現在兩隊合作,需要幾天完成?

解:

題中的「一項工程」是工作總量,由于沒有給出這項工程的具體數量,因此,把此項工程看作單位「1」。由于甲隊獨做需10天完成,那麼每天完成這項工程的1/10;乙隊單獨做需15天完成,每天完成這項工程的1/15;兩隊合做,每天可以完成這項工程的(1/10+1/15)。

由此可以列出算式:1÷(1/10+1/15)=1÷1/6=6(天)

答:兩隊合做需要6天完成。

例2 一批零件,甲獨做6小時完成,乙獨做8小時完成。現在兩人合做,完成任務時甲比乙多做24個,求這批零件共有多少個?

解:

設總工作量為1,則甲每小時完成1/6,乙每小時完成1/8,甲比乙每小時多完成(1/6-1/8),二人合做時每小時完成(1/6+1/8)。因為二人合做需要[1÷(1/6+1/8)]小時,這個時間內,甲比乙多做24個零件,所以

(1)每小時甲比乙多做多少零件?

24÷[1÷(1/6+1/8)]=7(個)

(2)這批零件共有多少個?

7÷(1/6-1/8)=168(個)

答:這批零件共有168個。

解二:

上面這道題還可以用另一種方法計算:

兩人合做,完成任務時甲乙的工作量之比為1/6∶1/8=4∶3

由此可知,甲比乙多完成總工作量的4-3/4+3=1/7

所以,這批零件共有24÷1/7=168(個)

例3 一件工作,甲獨做12小時完成,乙獨做10小時完成,丙獨做15小時完成。現在甲先做2小時,余下的由乙丙二人合做,還需幾小時才能完成?

解:

必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整數表示,就會給計算帶來方便,因此,我們設總工作量為12、10、和15的某一公倍數,例如最小公倍數60,則甲乙丙三人的工作效率分別是

60÷12=560÷10=660÷15=4

因此余下的工作量由乙丙合做還需要

(60-5×2)÷(6+4)=5(小時)

答:還需要5小時才能完成。也可以用(1-1/12*2)/(1/10+1/15)

例4 一個水池,底部裝有一個常開的排水管,上部裝有若干個同樣粗細的進水管。當打開4個進水管時,需要5小時才能注滿水池;當打開2個進水管時,需要15小時才能注滿水池;現在要用2小時將水池注滿,至少要打開多少個進水管?

解:

注(排)水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當于一項工程,水的流量就是工作量,單位時間內水的流量就是工作效率。

要2小時內將水池注滿,即要使2小時內的進水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進水管、排水管的工作效率及總工作量(一池水)。只要設某一個量為單位1,其余兩個量便可由條件推出。

我們設每個同樣的進水管每小時注水量為1,則4個進水管5小時注水量為(1×4×5),2個進水管15小時注水量為(1×2×15),從而可知

每小時的排水量為(1×2×15-1×4×5)÷(15-5)=1

即一個排水管與每個進水管的工作效率相同。由此可知

一池水的總工作量為1×4×5-1×5=15

又因為在2小時內,每個進水管的注水量為1×2,

所以,2小時內注滿一池水

至少需要多少個進水管?(15+1×2)÷(1×2)=8.5≈9(個)

答:至少需要9個進水管。

16、正反比例問題

【含義】兩種相關聯的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中相對應的兩個數的比的比值一定(即商一定),那麼這兩種量就叫做成正比例的量,它們的關系叫做正比例關系。正比例應用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運用。

兩種相關聯的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定,這兩種量就叫做成反比例的量,它們的關系叫做反比例關系。反比例應用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運用。

【數量關系】判斷正比例或反比例關系是解這類應用題的關鍵。許多典型應用題都可以轉化為正反比例問題去解決,而且比較簡捷。

【解題思路和方法】解決這類問題的重要方法是:把分率(倍數)轉化為比,應用比和比例的性質去解應用題。

正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。

例1 修一條公路,已修的是未修的1/3,再修300米后,已修的變成未修的1/2,求這條公路總長是多少米?

解:由條件知,公路總長不變。

原已修長度∶總長度=1∶(1+3)=1∶4=3∶12

現已修長度∶總長度=1∶(1+2)=1∶3=4∶12

比較以上兩式可知,把總長度當作12份,則300米相當于(4-3)份,

從而知公路總長為300÷(4-3)×12=3600(米)

答:這條公路總長3600米。

例2 張晗做4道應用題用了28分鐘,照這樣計算,91分鐘可以做幾道應用題?

解:

做題效率一定,做題數量與做題時間成正比例關系

設91分鐘可以做X應用題則有28∶4=91∶X

28X=91×4X=91×4÷28X=13

答:91分鐘可以做13道應用題。

例3 孫亮看《十萬個為什麼》這本書,每天看24頁,15天看完,如果每天看36頁,幾天就可以看完?

解:

書的頁數一定,每天看的頁數與需要的天數成反比例關系

設X天可以看完,就有24∶36=X∶15

36X=24×15X=10

答:10天就可以看完。

例4 一個大矩形被分成六個小矩形,其中四個小矩形的面積如圖所示,求大矩形的面積。

A

25

20

36

B

16

解:

由面積÷寬=長可知,當長一定時,面積與寬成正比,所以每一上下兩個小矩形面積之比就等于它們的寬的正比。又因為第一行三個小矩形的寬相等,第二行三個小矩形的寬也相等。因此,

A∶36=20∶1625∶B=20∶16

解這兩個比例,得A=45B=20

所以,大矩形面積為45+36+25+20+20+16=162

答:大矩形的面積是162.

17、按比例分配問題

【含義】所謂按比例分配,就是把一個數按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式:一是用比或連比的形式反映各部分占總數量的份數,另一種是直接給出份數。

【數量關系】從條件看,已知總量和幾個部分量的比;從問題看,求幾個部分量各是多少。

總份數=比的前后項之和

【解題思路和方法】先把各部分量的比轉化為各占總量的幾分之幾,把比的前后項相加求出總份數,再求各部分占總量的幾分之幾(以總份數作分母,比的前后項分別作分子),再按照求一個數的幾分之幾是多少的計算方法,分別求出各部分量的值。

例1 學校把植樹560棵的任務按人數分配給五年級三個班,已知一班有47人,二班有48人,三班有45人,三個班各植樹多少棵?

解:

總份數為47+48+45=140

一班植樹560×47/140=188(棵)

二班植樹560×48/140=192(棵)

三班植樹560×45/140=180(棵)答:一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵。

例2 用60厘米長的鐵絲圍成一個三角形,三角形三條邊的比是3∶4∶5。三條邊的長各是多少厘米?

解:

3+4+5=1260×3/12=15(厘米)

60×4/12=20(厘米)

60×5/12=25(厘米)

答:三角形三條邊的長分別是15厘米、20厘米、25厘米。

例3 從前有個牧民,臨死前留下遺言,要把17只羊分給三個兒子,大兒子分總數的1/2,二兒子分總數的1/3,三兒子分總數的1/9,并規定不許把羊宰割分,求三個兒子各分多少只羊。

解:

如果用總數乘以分率的方法解答,顯然得不到符合題意的整數解。如果用按比例分配的方法解,則很容易得到

1/2∶1/3∶1/9=9∶6∶2

9+6+2=1717×9/17=9

17×6/17=617×2/17=2

答:大兒子分得9只羊,二兒子分得6只羊,三兒子分得2只羊。

例4 某工廠第一、二、三車間人數之比為8∶12∶21,第一車間比第二車間少80人,三個車間共多少人?

人 數

80人

一共多少人?

對應的份數

12-8

8+12+21

解:80÷(12-8)×(8+12+21)=820(人)

答:三個車間一共820人。

18、百分數問題

【含義】百分數是表示一個數是另一個數的百分之幾的數。百分數是一種特殊的分數。分數常常可以通分、約分,而百分數則無需;分數既可以表示「率」,也可以表示「量」,而百分數只能表示「率」;分數的分子、分母必須是自然數,而百分數的分子可以是小數;百分數有一個專門的記號「%」。

在實際中和常用到「百分點」這個概念,一個百分點就是1%,兩個百分點就是2%。

【數量關系】掌握「百分數」、「標準量」「比較量」三者之間的數量關系:

百分數=比較量÷標準量

標準量=比較量÷百分數

【解題思路和方法】一般有三種基本類型:

(1)求一個數是另一個數的百分之幾;

(2)已知一個數,求它的百分之幾是多少;

(3)已知一個數的百分之幾是多少,求這個數。

例1 倉庫里有一批化肥,用去720千克,剩下6480千克,用去的與剩下的各占原重量的百分之幾?

解:

(1)用去的占720÷(720+6480)=10%

(2)剩下的占6480÷(720+6480)=90%

答:用去了10%,剩下90%。

例2 紅旗化工廠有男職工420人,女職工525人,男職工人數比女職工少百分之幾?

解:

本題中女職工人數為標準量,男職工比女職工少的人數是比較量所以(525-420)÷525=0.2=20%

或者1-420÷525=0.2=20%

答:男職工人數比女職工少20%。

例3 紅旗化工廠有男職工420人,女職工525人,女職工比男職工人數多百分之幾?

解:

本題中以男職工人數為標準量,女職工比男職工多的人數為比較量,因此

(525-420)÷420=0.25=25%

或者525÷420-1=0.25=25%

答:女職工人數比男職工多25%。

例4 紅旗化工廠有男職工420人,有女職工525人,男、女職工各占全廠職工總數的百分之幾?

解:

(1)男職工占420÷(420+525)=0.444=44.4%

(2)女職工占525÷(420+525)=0.556=55.6%

答:男職工占全廠職工總數的44.4%,女職工占55.6%。

例5 百分數又叫百分率,百分率在工農業生產中應用很廣泛,常見的百分率有:

增長率=增長數÷原來基數×100%

合格率=合格產品數÷產品總數×100%

出勤率=實際出勤人數÷應出勤人數×100%

出勤率=實際出勤天數÷應出勤天數×100%

缺席率=缺席人數÷實有總人數×100%

發芽率=發芽種子數÷試驗種子總數×100%

成活率=成活棵數÷種植總棵數×100%

出粉率=面粉重量÷小麥重量×100%

出油率=油的重量÷油料重量×100%

廢品率=廢品數量÷全部產品數量×100%

命中率=命中次數÷總次數×100%

烘干率=烘干后重量÷烘前重量×100%

及格率=及格人數÷參加考試人數×100%

19、「牛吃草」問題

【含義】「牛吃草」問題是大科學家牛頓提出的問題,也叫「牛頓問題」。這類問題的特點在于要考慮草邊吃邊長這個因素。

【數量關系】草總量=原有草量+草每天生長量×天數

【解題思路和方法】解這類題的關鍵是求出草每天的生長量。

例1 一塊草地,10頭牛20天可以把草吃完,15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完?

解:

草是均勻生長的,所以,草總量=原有草量+草每天生長量×天數。求「多少頭牛5天可以把草吃完」,就是說5天內的草總量要5天吃完的話,得有多少頭牛?設每頭牛每天吃草量為1,按以下步驟解答:

(1)求草每天的生長量

因為,一方面20天內的草總量就是10頭牛20天所吃的草,即(1×10×20);另一方面,20天內的草總量又等于原有草量加上20天內的生長量,所以

1×10×20=原有草量+20天內生長量

同理1×15×10=原有草量+10天內生長量

由此可知(20-10)天內草的生長量為

1×10×20-1×15×10=50

因此,草每天的生長量為50÷(20-10)=5

(2)求原有草量

原有草量=10天內總草量-10內生長量=1×15×10-5×10=100

(3)求5天內草總量

5天內草總量=原有草量+5天內生長量=100+5×5=125

(4)求多少頭牛5天吃完草

因為每頭牛每天吃草量為1,所以每頭牛5天吃草量為5。

因此5天吃完草需要牛的頭數125÷5=25(頭)

答:需要5頭牛5天可以把草吃完。

例2 一只船有一個漏洞,水以均勻速度進入船內,發現漏洞時已經進了一些水。如果有12個人淘水,3小時可以淘完;如果只有5人淘水,要10小時才能淘完。求17人幾小時可以淘完?

解:

這是一道變相的「牛吃草」問題。與上題不同的是,最后一問給出了人數(相當于「牛數」),求時間。設每人每小時淘水量為1,按以下步驟計算:

(1)求每小時進水量

因為,3小時內的總水量=1×12×3=原有水量+3小時進水量

10小時內的總水量=1×5×10=原有水量+10小時進水量

所以,(10-3)小時內的進水量為1×5×10-1×12×3=14

因此,每小時的進水量為14÷(10-3)=2

(2)求淘水前原有水量

原有水量=1×12×3-3小時進水量=36-2×3=30

(3)求17人幾小時淘完

17人每小時淘水量為17,因為每小時漏進水為2,所以實際上船中每小時減少的水量為(17-2),所以17人淘完水的時間是

30÷(17-2)=2(小時)

答:17人2小時可以淘完水。

20、雞兔同籠問題

【含義】這是古典的算術問題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳,求雞、兔各有多少只的問題,叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數和雞腳與兔腳的差,求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。

【數量關系】第一雞兔同籠問題:

假設全都是雞,則有

兔數=(實際腳數-2×雞兔總數)÷(4-2)

假設全都是兔,則有

雞數=(4×雞兔總數-實際腳數)÷(4-2)

第二雞兔同籠問題:

假設全都是雞,則有

兔數=(2×雞兔總數-雞與兔腳之差)÷(4+2)

假設全都是兔,則有

雞數=(4×雞兔總數+雞與兔腳之差)÷(4+2)

【解題思路和方法】解答此類題目一般都用假設法,可以先假設都是雞,也可以假設都是兔。如果先假設都是雞,然后以兔換雞;如果先假設都是兔,然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設,再置換,使問題得到解決。

例1 長毛兔子蘆花雞,雞兔圈在一籠里。數數頭有三十五,腳數共有九十四。請你仔細算一算,多少兔子多少雞?

解:假設35只全為兔,則

雞數=(4×35-94)÷(4-2)=23(只)

兔數=35-23=12(只)

也可以先假設35只全為雞,則

兔數=(94-2×35)÷(4-2)=12(只)

雞數=35-12=23(只)

答:有雞23只,有兔12只。

例2 2畝菠菜要施肥1千克,5畝白菜要施肥3千克,兩種菜共16畝,施肥9千克,求白菜有多少畝?

解:

此題實際上是改頭換面的「雞兔同籠」問題。「每畝菠菜施肥(1÷2)千克」與「每只雞有兩個腳」相對應,「每畝白菜施肥(3÷5)千克」與「每只兔有4只腳」相對應,「16畝」與「雞兔總數」相對應,「9千克」與「雞兔總腳數」相對應。假設16畝全都是菠菜,則有

白菜畝數=(9-1÷2×16)÷(3÷5-1÷2)=10(畝)

答:白菜地有10畝。

例3 李老師用69元給學校買作業本和日記本共45本,作業本每本3.20元,日記本每本0.70元。問作業本和日記本各買了多少本?

解:

此題可以變通為「雞兔同籠」問題。假設45本全都是日記本,則有

作業本數=(69-0.70×45)÷(3.20-0.70)=15(本)

日記本數=45-15=30(本)

答:作業本有15本,日記本有30本。

例4 (第二雞兔同籠問題)雞兔共有100只,雞的腳比兔的腳多80只,問雞與兔各多少只?

解:

假設100只全都是雞,則有

兔數=(2×100-80)÷(4+2)=20(只)

雞數=100-20=80(只)

答:有雞80只,有兔20只。

例5 有100個饃100個和尚吃,大和尚一人吃3個饃,小和尚3人吃1個饃,問大小和尚各多少人?

解:

假設全為大和尚,則共吃饃(3×100)個,比實際多吃(3×100-100)個,這是因為把小和尚也算成了大和尚,因此我們在保證和尚總數100不變的情況下,以「小」換「大」,一個小和尚換掉一個大和尚可減少饃(3-1/3)個。因此,共有小和尚

(3×100-100)÷(3-1/3)=75(人)

共有大和尚100-75=25(人)

答:共有大和尚25人,有小和尚75人。

21、方陣問題

【含義】將若干人或物依一定條件排成正方形(簡稱方陣),根據已知條件求總人數或總物數,這類問題就叫做方陣問題。

【數量關系】(1)方陣每邊人數與四周人數的關系:

四周人數=(每邊人數-1)×4

每邊人數=四周人數÷4+1

(2)方陣總人數的求法:

實心方陣:總人數=每邊人數×每邊人數

空心方陣:總人數=(外邊人數)-(內邊人數)

內邊人數=外邊人數-層數×2

(3)若將空心方陣分成四個相等的矩形計算,則:

總人數=(每邊人數-層數)×層數×4

【解題思路和方法】方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數自乘;空心方陣的變化較多,其解答方法應根據具體情況確定。

例1 在育才小學的運動會上,進行體操表演的同學排成方陣,每行22人,參加體操表演的同學一共有多少人?

解:22×22=484(人)

答:參加體操表演的同學一共有484人。

例2 有一個3層中空方陣,最外邊一層有10人,求全方陣的人數。

解:10*10-(10-3×2)*(10-3×2)=84(人)

答:全方陣84人。

例3 有一隊學生,排成一個中空方陣,最外層人數是52人,最內層人數是28人,這隊學生共多少人?

解:

(1)中空方陣外層每邊人數=52÷4+1=14(人)

(2)中空方陣內層每邊人數=28÷4-1=6(人)

(3)中空方陣的總人數=14×14-6×6=160(人)

答:這隊學生共160人。

例4 一堆棋子,排列成正方形,多余4棋子,若正方形縱橫兩個方向各增加一層,則缺少9只棋子,問有棋子多少個?

解:

(1)縱橫方向各增加一層所需棋子數=4+9=13(只)

(2)縱橫增加一層后正方形每邊棋子數=(13+1)÷2=7(只)

(3)原有棋子數=7×7-9=40(只)

答:棋子有40只。

例5 有一個三角形樹林,頂點上有1棵樹,以下每排的樹都比前一排多1棵,最下面一排有5棵樹。這個樹林一共有多少棵樹?

解:

第一種方法:1+2+3+4+5=15(棵)

第二種方法:(5+1)×5÷2=15(棵)

答:這個三角形樹林一共有15棵樹。

22、商品利潤問題

【含義】這是一種在生產經營中經常遇到的問題,包括成本、利潤、利潤率和虧損、虧損率等方面的問題。

【數量關系】利潤=售價-進貨價

利潤率=(售價-進貨價)÷進貨價×100%

售價=進貨價×(1+利潤率)

虧損=進貨價-售價

虧損率=(進貨價-售價)÷進貨價×100%

【解題思路和方法】簡單的題目可以直接利用公式,復雜的題目變通后利用公式。

例1 某商品的平均價格在一月份上調了10%,到二月份又下調了10%,這種商品從原價到二月份的價格變動情況如何?

解:

設這種商品的原價為1,則一月份售價為(1+10%),二月份的售價為(1+10%)×(1-10%),所以二月份售價比原價下降了

1-(1+10%)×(1-10%)=1%

答:二月份比原價下降了1%。

例2 某服裝店因搬遷,店內商品八折銷售。苗苗買了一件衣服用去52元,已知衣服原來按期望盈利30%定價,那麼該店是虧本還是盈利?虧(盈)率是多少?

解:

要知虧還是盈,得知實際售價52元比成本少多少或多多少元,進而需知成本。因為52元是原價的80%,所以原價為(52÷80%)元;又因為原價是按期望盈利30%定的,

所以成本為52÷80%÷(1+30%)=50(元)

可以看出該店是盈利的,盈利率為(52-50)÷50=4%

答:該店是盈利的,盈利率是4%。

例3 成本0.25元的作業本1200冊,按期望獲得40%的利潤定價出售,當銷售出80%后,剩下的作業本打折扣,結果獲得的利潤是預定的86%。問剩下的作業本出售時按定價打了多少折扣?

解:

問題是要計算剩下的作業本每冊實際售價是原定價的百分之幾。從題意可知,每冊的原定價是0.25×(1+40%),所以關鍵是求出剩下的每冊的實際售價,為此要知道剩下的每冊盈利多少元。剩下的作業本售出后的盈利額等于實際總盈利與先售出的80%的盈利額之差,即

0.25×1200×40%×86%-0.25×1200×40%×80%=7.20(元)

剩下的作業本每冊盈利7.20÷[1200×(1-80%)]=0.03(元)

又可知(0.25+0.03)÷[0.25×(1+40%)]=80%

答:剩下的作業本是按原定價的八折出售的。

例4 某種商品,甲店的進貨價比乙店的進貨價便宜10%,甲店按30%的利潤定價,乙店按20%的利潤定價,結果乙店的定價比甲店的定價貴6元,求乙店的定價。

解:

設乙店的進貨價為1,則甲店的進貨價為1-10%=0.9

甲店定價為0.9×(1+30%)=1.17

乙店定價為1×(1+20%)=1.20

由此可得乙店進貨價為6÷(1.20-1.17)=200(元)

乙店定價為200×1.2=240(元)

答:乙店的定價是240元。

23、存款利率問題

【含義】把錢存入銀行是有一定利息的,利息的多少,與本金、利率、存期這三個因素有關。利率一般有年利率和月利率兩種。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分數;月利率是指存期一月所生利息占本金的百分數。

【數量關系】年(月)利率=利息÷本金÷存款年(月)數×100%

利息=本金×存款年(月)數×年(月)利率

本利和=本金+利息

=本金×[1+年(月)利率×存款年(月)數]

【解題思路和方法】簡單的題目可直接利用公式,復雜的題目變通后再利用公式。

例1 李大強存入銀行1200元,月利率0.8%,到期后連本帶利共取出1488元,求存款期多長。

解:

因為存款期內的總利息是(1488-1200)元,

所以總利率為(1488-1200)÷1200又因為已知月利率,

所以存款月數為(1488-1200)÷1200÷0.8%=30(月)

答:李大強的存款期是30月即兩年半。

例2 銀行定期整存整取的年利率是:二年期7.92%,三年期8.28%,五年期9%。如果甲乙二人同時各存入1萬元,甲先存二年期,到期后連本帶利改存三年期;乙直存五年期。五年后二人同時取出,那麼,誰的收益多?多多少元?

解:

甲的總利息[10000×7.92%×2+[10000×(1+7.92%×2)]×8.28%×3

=1584+11584×8.28%×3=4461.47(元)

乙的總利息10000×9%×5=4500(元)

4500-4461.47=38.53(元)

答:乙的收益較多,乙比甲多38.53元。

24、溶液濃度問題

【含義】在生產和生活中,我們經常會遇到溶液濃度問題。這類問題研究的主要是溶劑(水或其它液體)、溶質、溶液、濃度這幾個量的關系。例如,水是一種溶劑,被溶解的東西叫溶質,溶解后的混合物叫溶液。溶質的量在溶液的量中所占的百分數叫濃度,也叫百分比濃度。

【數量關系】溶液=溶劑+溶質

濃度=溶質÷溶液×100%

【解題思路和方法】簡單的題目可直接利用公式,復雜的題目變通后再利用公式。

例1 爺爺有16%的糖水50克,(1)要把它稀釋成10%的糖水,需加水多少克?(2)若要把它變成30%的糖水,需加糖多少克?

解:

(1)需要加水多少克?50×16%÷10%-50=30(克)

(2)需要加糖多少克?50×(1-16%)÷(1-30%)-50=10(克)

答:(1)需要加水30克,(2)需要加糖10克。

例2 要把30%的糖水與15%的糖水混合,配成25%的糖水600克,需要30%和15%的糖水各多少克?

解:

假設全用30%的糖水溶液,那麼含糖量就會多出600×(30%-25%)=30(克)

這是因為30%的糖水多用了。于是,我們設想在保證總重量600克不變的情況下,用15%的溶液來「換掉」一部分30%的溶液。這樣,每「換掉」100克,就會減少糖100×(30%-15%)=15(克)所以需要「換掉」30%的溶液(即「換上」15%的溶液)100×(30÷15)=200(克)

由此可知,需要15%的溶液200克。

需要30%的溶液600-200=400(克)

答:需要15%的糖水溶液200克,需要30%的糖水400克。

例3 甲容器有濃度為12%的鹽水500克,乙容器有500克水。把甲中鹽水的一半倒入乙中,混合后再把乙中現有鹽水的一半倒入甲中,混合后又把甲中的一部分鹽水倒入乙中,使甲乙兩容器中的鹽水同樣多。求最后乙中鹽水的百分比濃度。

解:

由條件知,倒了三次后,甲乙兩容器中溶液重量相等,各為500克,因此,只要算出乙容器中最后的含鹽量,便會知所求的濃度。下面列表推算:

甲容器

乙容器原 有

鹽水500

鹽500×12%=60

水500

第一次把甲中一半倒入乙中后

鹽水500÷2=250

鹽60÷2=30

鹽水500+250=750

鹽30

第而次把乙中一半倒入甲中后

鹽水250+375=625

鹽30+15=45

鹽水750÷2=375

鹽30÷2=15

第三次使甲乙中鹽水同樣多

鹽水500

鹽45-9=36

鹽水500

鹽45-36+15=24

由以上推算可知,

乙容器中最后鹽水的百分比濃度為24÷500=4.8%

答:乙容器中最后的百分比濃度是4.8%。

25、構圖布數問題

【含義】這是一種數學游戲,也是現實生活中常用的數學問題。所謂「構圖」,就是設計出一種圖形;所謂「布數」,就是把一定的數字填入圖中。「構圖布數」問題的關鍵是要符合所給的條件。

【數量關系】根據不同題目的要求而定。

【解題思路和方法】通常多從三角形、正方形、圓形和五角星等圖形方面考慮。按照題意來構圖布數,符合題目所給的條件。

例1 十棵樹苗子,要栽五行子,每行四棵子,請你想法子。

解:

符合題目要求的圖形應是一個五角星。

4×5÷2=10

因為五角星的5條邊交叉重復,應減去一半。

例2 九棵樹苗子,要栽十行子,每行三棵子,請你想法子。

解:

符合題目要求的圖形是兩個倒立交叉的等腰三角形,

一個三角形的頂點在另一個三角形底邊的中線上。

例3 九棵樹苗子,要栽三行子,每行四棵子,請你想法子。

解:

符合題目要求的圖形是一個三角形,每邊栽4棵樹,三個頂點上重復應減去,正好9棵。

4×3-3=9

例4 把12拆成1到7這七個數中三個不同數的和,有幾種寫法?請設計一種圖形,填入這七個數,每個數只填一處,且每條線上三個數的和都等于12。

解:

共有五種寫法,即12=1+4+712=1+5+612=2+3+7

12=2+4+612=3+4+5

在這五個算式中,4出現三次,其余的1、2、3、5、6、7各出現兩次,因此,4應位于三條線的交點處,其余數都位于兩條線的交點處。

26、幻方問題

【含義】把n×n個自然數排在正方形的格子中,使各行、各列以及對角線上的各數之和都相等,這樣的圖叫做幻方。最簡單的幻方是三級幻方。

【數量關系】每行、每列、每條對角線上各數的和都相等,這個「和」叫做「幻和」。

三級幻方的幻和=45÷3=15

五級幻方的幻和=325÷5=65

【解題思路和方法】首先要確定每行、每列以及每條對角線上各數的和(即幻和),其次是確定正中間方格的數,然后再確定其它方格中的數。

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例1 把1,2,3,4,5,6,7,8,9這九個數填入九個方格中,使每行、每列、每條對角線上三個數的和相等。

解:

幻和的3倍正好等于這九個數的和,所以幻和為

(1+2+3+4+5+6+7+8+9)÷3=45÷3=15

九個數在這八條線上反復出現構成幻和時,每個數用到的次數不全相同,最中心的那個數要用到四次(即出現在中行、中列、和兩條對角線這四條線上),四角的四個數各用到三次,其余的四個數各用到兩次。看來,用到四次的「中心數」地位重要,宜優先考慮。

設「中心數」為Χ,因為Χ出現在四條線上,而每條線上三個數之和等于15,所以(1+2+3+4+5+6+7+8+9)+(4-1)Χ=15×4

即45+3Χ=60所以Χ=5

接著用奇偶分析法尋找其余四個偶數的位置,它們

2

7

6

9

5

1

4

3

8

分別在四個角,再確定其余四個奇數的位置,它們分別

在中行、中列,進一步嘗試,容易得到正確的結果。

例2 把2,3,4,5,6,7,8,9,10這九個數填到九個方格中,使每行、每列、以及對角線上的各數之和都相等。

解:

只有三行,三行用完了所給的9個數,所以每行三數之和為

(2+3+4+5+6+7+8+9+10)÷3=18

9

2

7

4

6

8

5

10

3

假設符合要求的數都已經填好,那麼三行、三列、兩條對角線共8行上的三個數之和都等于18,我們看18能寫成哪三個數之和:

最大數是10:18=10+6+2=10+5+3

最大數是9:18=9+7+2=9+6+3=9+5+4

最大數是8:18=8+7+3=8+6+4

最大數是7:18=7+6+5剛好寫成8個算式。

首先確定正中間方格的數。第二橫行、第二豎行、兩個斜行都用到正中間方格的數,共用了四次。觀察上述8個算式,只有6被用了4次,所以正中間方格中應填6。

然后確定四個角的數。四個角的數都用了三次,而上述8個算式中只有9、7、5、3被用了三次,所以9、7、5、3應填在四個角上。但還應兼顧兩條對角線上三個數的和都為18。

最后確定其它方格中的數。如圖。

27、抽屜原則問題

【含義】把3只蘋果放進兩個抽屜中,會出現哪些結果呢?要麼把2只蘋果放進一個抽屜,剩下的一個放進另一個抽屜;要麼把3只蘋果都放進同一個抽屜中。這兩種情況可用一句話表示:一定有一個抽屜中放了2只或2只以上的蘋果。這就是數學中的抽屜原則問題。

【數量關系】基本的抽屜原則是:如果把n+1個物體(也叫元素)放到n個抽屜中,那麼至少有一個抽屜中放著2個或更多的物體(元素)。

抽屜原則可以推廣為:如果有m個抽屜,有k×m+r(0<r≤m)個元素那麼至少有一個抽屜中要放(k+1)個或更多的元素。

通俗地說,如果元素的個數是抽屜個數的k倍多一些,那麼至少有一個抽屜要放(k+1)個或更多的元素。

【解題思路和方法】(1)改造抽屜,指出元素;

(2)把元素放入(或取出)抽屜;

(3)說明理由,得出結論。

例1 育才小學有367個2000年出生的學生,那麼其中至少有幾個學生的生日是同一天的?

解:

由于2000年是潤年,全年共有366天,可以看作366個「抽屜」,把367個1999年出生的學生看作367個「元素」。367個「元素」放進366個「抽屜」中,至少有一個「抽屜」中放有2個或更多的「元素」。這說明至少有2個學生的生日是同一天的。

例2 據說人的頭髮不超過20萬跟,如果陜西省有3645萬人,根據這些數據,你知道陜西省至少有多少人頭髮根數一樣多嗎?

解:

人的頭髮不超過20萬根,可看作20萬個「抽屜」,3645萬人可看作3645萬個「元素」,把3645萬個「元素」放到20萬個「抽屜」中,得到

3645÷20=182……5根據抽屜原則的推廣規律,可知k+1=183

答:陜西省至少有183人的頭髮根數一樣多。

例3 一個袋子里有一些球,這些球僅只有顏色不同。其中紅球10個,白球9個,黃球8個,藍球2個。某人閉著眼睛從中取出若干個,試問他至少要取多少個球,才能保證至少有4個球顏色相同?

解:

把四種顏色的球的總數(3+3+3+2)=11看作11個「抽屜」,那麼,至少要取(11+1)個球才能保證至少有4個球的顏色相同。

答:他至少要取12個球才能保證至少有4個球的顏色相同。

28、公約公倍問題

【含義】需要用公約數、公倍數來解答的應用題叫做公約數、公倍數問題。

【數量關系】絕大多數要用最大公約數、最小公倍數來解答。

【解題思路和方法】先確定題目中要用最大公約數或者最小公倍數,再求出答案。最大公約數和最小公倍數的求法,最常用的是「短除法」。

例1 一張硬紙板長60厘米,寬56厘米,現在需要把它剪成若干個大小相同的最大的正方形,不許有剩余。問正方形的邊長是多少?

解:

硬紙板的長和寬的最大公約數就是所求的邊長。

60和56的最大公約數是4。

答:正方形的邊長是4厘米。

例2 甲、乙、丙三輛汽車在環形馬路上同向行駛,甲車行一周要36分鐘,乙車行一周要30分鐘,丙車行一周要48分鐘,三輛汽車同時從同一個起點出發,問至少要多少時間這三輛汽車才能同時又在起點相遇?

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要求多少時間才能在同一起點相遇,這個時間必定同時是36、30、48的倍數。因為問至少要多少時間,所以應是36、30、48的最小公倍數。36、30、48的最小公倍數是720。

答:至少要720分鐘(即12小時)這三輛汽車才能同時又在起點相遇。

例3 一個四邊形廣場,邊長分別為60米,72米,96米,84米,現要在四角和四邊植樹,若四邊上每兩棵樹間距相等,至少要植多少棵樹?

解:

相鄰兩樹的間距應是60、72、96、84的公約數,要使植樹的棵數盡量少,須使相鄰兩樹的間距盡量大,那麼這個相等的間距應是60、72、96、84這幾個數的最大公約數12。

所以,至少應植樹(60+72+96+84)÷12=26(棵)

答:至少要植26棵樹。

例4 一盒圍棋子,4個4個地數多1個,5個5個地數多1個,6個6個地數還多1個。又知棋子總數在150到200之間,求棋子總數。

解:

如果從總數中取出1個,余下的總數便是4、5、6的公倍數。因為4、5、6的最小公倍數是60,又知棋子總數在150到200之間,所以這個總數為

60×3+1=181(個)

答:棋子的總數是181個。

29、最值問題

【含義】科學的發展觀認為,國民經濟的發展既要講求效率,又要節約能源,要少花錢多辦事,辦好事,以最小的代價取得最大的效益。這類應用題叫做最值問題。

【數量關系】一般是求最大值或最小值。

【解題思路和方法】按照題目的要求,求出最大值或最小值。

例1 在火爐上烤餅,餅的兩面都要烤,每烤一面需要3分鐘,爐上只能同時放兩塊餅,現在需要烤三塊餅,最少需要多少分鐘?

解:

先將兩塊餅同時放上烤,3分鐘后都熟了一面,這時將第一塊餅取出,放入第三塊餅,翻過第二塊餅。再過3分鐘取出熟了的第二塊餅,翻過第三塊餅,又放入第一塊餅烤另一面,再烤3分鐘即可。這樣做,用的時間最少,為9分鐘。

答:最少需要9分鐘。

例2 在一條公路上有五個卸煤場,每相鄰兩個之間的距離都是10千米,已知1號煤場存煤100噸,2號煤場存煤200噸,5號煤場存煤400噸,其余兩個煤場是空的。現在要把所有的煤集中到一個煤場里,每噸煤運1千米花費1元,集中到幾號煤場花費最少?

解:

我們采用嘗試比較的方法來解答。

集中到1號場總費用為1×200×10+1×400×40=18000(元)

集中到2號場總費用為1×100×10+1×400×30=13000(元)

集中到3號場總費用為1×100×20+1×200×10+1×400×10=12000(元)

集中到4號場總費用為1×100×30+1×200×20+1×400×10=11000(元)

集中到5號場總費用為1×100×40+1×200×30=10000(元)

經過比較,顯然,集中到5號煤場費用最少。

答:集中到5號煤場費用最少。

例3 北京和上海同時制成計算機若干台,北京可調運外地10台,上海可調運外地4台。現決定給重慶調運8台,給武漢調運6台,若每台運費如下表,問如何調運才使運費最省?

重慶

武漢

北京

800

400

上海

500

300

解:

北京調運到重慶的運費最高,因此,北京往重慶應盡量少調運。這樣,把上海的4台全都調往重慶,再從北京調往重慶4台,調往武漢6台,運費就會最少,其數額為

500×4+800×4+400×6=7600(元)

答:上海調往重慶4台,北京調往武漢6台,調往重慶4台,這樣運費最少。

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