「小學數學」全部知識圖譜,博士整理了兩個星期,建議收藏仔細閱讀

我整理的優博數學:小學數學經典七大知識體系,系統掌握這些,小升初考試不用愁,很多家長反饋說挺有用的,并向我要了高清原圖,很多家長表示,這個七大體系的典型題總結的不錯,按照這個框架梳理一遍,孩子小學數學學習中,哪些題型是沒做過的,哪些題型是做的不好的一目了然。

但也有一些家長反映,這個七大知識體系雖然很全,好像里面有一些類型題并不是課本知識,屬于奧數培優內容。自己家孩子水平能力都很普通,現在又雙減了,也不想把孩子培養去參加奧數競賽,就想要一份只是針對校內知識的總結圖表。

其實,很多同學的基礎都不算扎實,盲目地攀高并不利于他們提升數學成績,反倒是會對未來的數學學習造成一定的隱患,所以,我最近結合課本,把小學數學各個年級的知識點梳理了一遍,做了一系列思維導圖,以知識圖譜的形式,把小學六個年級所有的知識點都整理了一遍。

這個知識圖譜和七大知識體系不一樣,不是典型題型的羅列,而是知識點的總結,因此,需要家長根據孩子目前學習的情況認真對照,仔細檢查,做好查漏補缺工作,掌握孩子的學習狀況。

一年級

知識圖譜

學習重點

一年級的學習重點就是認識數,會計算簡單的加法和減法。對于很多孩子來說,可能一年級的內容感覺比較簡單,一些孩子在幼兒園的時候就學會了數數,也掌握了簡單的加法和減法,所以,總體上來說,一年級的內容沒有太大的挑戰性。

要說學習內容的難點,我認為是退位減法,這個問題實際上困擾了相當多的孩子,即使上了四年級,仍然有一些孩子在計算退位減法時,做的依然很慢,而且錯誤率很高,不過現實中好像很多家長都把注意力集中在孩子的乘法學習上,實際上乘法的錯誤率要遠遠低于退位減法,因為乘法是背下來的,這個我們在二年級部分會有說明。

學習方法

一年級的學習應當以引導和規范為主,平時帶孩子逛超市時,讓孩子記下商品的價格,和孩子一起做一下簡單的加減法,潛移默化中訓練孩子的計算能力。

每天做一篇口算題卡,注意一定要計時,還要檢查正確率,有心的家長還會總結孩子在哪些地方會經常出錯,并有針對性的進行補充練習,不過這樣的家長鳳毛麟角。

市面上有一些口算題卡,題目設置得還不錯,問題是無法尋找找到孩子計算的薄弱環節,并無法給出針對性的補充練習,我正在琢磨做這麼一款產品,給我一點兒時間,做出來會跟大家介紹的。

二年級

知識圖譜

學習重點

二年級數學的學習重點是計算,具體的說就是乘法和除法的計算。

雖然二年級還涉及到一些100以內加法的計算,這些內容同樣重要,但二年級數學的重點依然是乘法和除法。

對于二年級學生來說,一定要把九九乘法表背得滾瓜爛熟,不是僅僅會正著背,而是對任何一個九九乘法表內的數字,它的來源要非常的清楚。比如我說28,那麼學生要立刻想到四七二十八,我說末位是3,那學生要立刻想到七九六十三。

很多家長和學生眼中的九九乘法表是這樣的:

其實,在一些學霸的眼里,它是這樣的:

甚至是這樣的:

學習方法

乘法其實比較好學,背就行了,關鍵是如何去背,很多同學就是按照九九乘法表的次序背,這樣做確實背下來了,但做題的時候不太管用,遇到豎式算式謎問題,基本上就繳槍了,所以我總結了背九九乘法表的方法(想給三年級的孩子背大九九乘法口訣,以提高他的運算速度,這樣做有沒有用?),不僅要按照次序背,還要對其中一些特殊數字重點關注,對學有余力的孩子,家長也可以引導他們去背一下大九九乘法表,這個量看起來有點兒大,但其實把常見的一些數字去掉后,背誦的量也比較有限,大九九乘法表不需要在二年級就背下來,只是引導孩子去掌握,在做題的過程中慢慢去背,小學畢業前能把大九九背下來就已經非常不錯了。

真正的難點在于除法,本質上除法是乘法的逆運算,乘法熟練了除法就好辦了,但實際上,很多孩子乘法不熟練,這又回到剛才的問題,學生會正著背乘法表,但反過來,比如28是誰乘以誰得出來的他就摸不到頭腦了,問題不是四七二十八他不會,而是他對28是由誰乘出來的不熟悉,這個問題不解決,除法就很難有所突破。

方法其實很簡單,就是多練,但要有針對性地練。

我給學生的要求是,每天一頁口算題卡,每張題卡都要計時,都要看正確率,如果正確率很低,比如50題錯了2題以上,那麼多錯的部分,錯一題罰5題。堅持兩個月以上的,計算能力都有很明顯的提升。

對于一二年級的數學學習,我認為:

一是要興趣引導。興趣是最好的老師,對于初學數學的孩子來說,興趣更是引他們入門的良師益友,家長可以引導孩子發現生活中的數學,并鼓勵他們嘗試解決一些生活中的小問題。

二是要夯實基礎。計算是數學學習的基礎,對于一二年級的孩子來說,其他的內容都沒有計算重要,家長要訓練孩子每日一練,一定量的訓練才能保證計算能力過關,只有計算過關了,才能進一步學習更深刻的數學問題。

三是要規范習慣。低年級以規范學習習慣為主,習慣養成是小學生最重要的任務,我們常說要學會數學思維,如果沒有好的學習習慣,數學思維都是空中樓閣。

對于普通的孩子來說(很多家長都認為自己的孩子不是普通的孩子,但實際上只有不到1%的孩子不普通,絕大多數孩子都是普娃),千萬不要過早的學習較難的奧數知識,學習奧數本身沒有錯,了解一下,開拓一下視野都是可以的,但過早的接觸較難的奧數題目,只會嚴重的打擊孩子的自信心,這一點家長們切記!

三年級

知識圖譜

學習重點

三年級學習的內容明顯增多,幾乎每一項都要認真對待,否則后續的學習會很成問題。

一、計算

主要是大數的計算,包括大數的加減法,兩位數乘以兩位數,除數是一位數的除法等等。

二、圖形

包括長方形和正方形的周長,面積基礎知識,一定要區分開來周長和面積,還要重點注意單位(周長是米,面積是平方公尺)

三、倍數

倍數這個知識點不是很難,但到實際做題時,很多學生會搞反,就是明明我是你的4倍,結果孩子理解成你是我的4倍。由倍數關系會折騰出一系列讓人頭疼的應用題,比如和倍問題,差倍問題,和差倍問題,典型的就是年齡問題。

學習方法

計算問題的方法無他,就是多練。我發現很多孩子在做豎式算式謎問題時,找不到解題的突破口,原因竟然是他們并不知道各個位置上的數字是如何得來的,有的位置上的數是落位落下來的,有的則是兩個乘數相乘得到的積,這就說明相當一部分孩子對兩位數乘以兩位數的算式規則掌握的不扎實,相當一部分家長一點兒也不重視計算,他們關注的點很多都在所謂是數學思維上,說實話,小學你不學奧數的話,根本就扯不到數學思維好吧。

圖形問題的學習方法我覺得除了多看熟悉題型外,還要有等價的觀念,比如做周長問題,我們就經常需要學生掌握平移的思想,把一段線段平移到另外一個地方去,線段的長度是不變的,圖形周長當然不變,但通過平移,把原圖形的周長計算等價的變成了新圖形的周長計算,往往有一種柳暗花明的感覺。

倍數關系應用題是小學三年級的一個學習重點和學習難點,對這種題很多同學一籌莫展,實際上,解決和差倍問題的一個好方法就是畫線段圖,通過線段圖把題目中的數量關系、邏輯關系全部梳理清楚,并且用線段的長度來表示數量的大小,通過圖形把題目的邏輯關系展現出來,這個是三年級學生需要重點加強的一個解題技能。

畫線段圖的技巧是:先找到題目中最小的量,以此為最小線段,即一份,然后根據題目中的描述,依次把其他量用線段表示出來,然后再通過線段之間的長度關系,通過加減乘除分析解出最小一段,也就是一份所代表的數量,進而把其他的量全部求出來。

四年級

知識圖譜

學習重點

四年級學習的重點一個是圖形問題,包括平行四邊形,梯形,三角形,以及圖形的對稱等等,另一個就是小數和運算定律,也就還是計算問題,再有就是行程問題。

一、圖形

四年級的圖形問題雖然不怎麼涉及面積求解,但由于涉及到很多種圖形,每一種圖形的特性都需要扎實掌握,這是為五年級學習多邊形面積打好基礎。這里我特別要強調一點就是,對平移,對稱等知識,很多學生覺得簡單,但做題的效果卻不好。

二、小數計算

小數的計算和整數的計算,從本質上來看沒有多少差別,但是由于小數點的介入,使得整個算式看起來復雜很多,這就需要學生對數位對齊這個要求一定要認真對待,否則小數計算的結果會五花八門的。

運算定律我本來是不太想講的,但是從實際的教學經驗來看,相當一部分學生這方面的內容掌握得并不好,這就直接導致后續甚至是國中數學學習的困難,小升初考試中,涉及到的一些計算往往是以巧算的形式出現的,而這些巧算方法基本上就是通過各種運算律,把算式中的數字進行重新組合,形成易于計算的形式。

三、行程問題

四年級介紹了路程,時間,速度之間的關系,正式引入了行程問題。課本上的行程問題并不是很難,但縱觀整個小學數學,我認為行程問題是最難的最復雜的問題(如果考慮奧數競賽,數論問題排第一,否則行程問題排第一),而且是小升初考試的必考題,任何一個地區的小升初試卷里都會出現行程問題,這類題必須要認真對待。

學習方法

圖形問題的學習技巧我認為還是建立圖感,對圖形的敏感性要加強,具體怎麼做?直白點兒說還是多看,見得多了就熟悉了。

但是對四年級的圖形問題,雖然涉及到的計算并不是很多,但也有一些基礎概念基本公式的運用,因此,就特別需要強調對概念的理解問題。

到了五六年級,我經常會發現很多同學在計算的時候公式使用錯誤,要麼是公式寫錯,要麼是在不恰當的地方用了不恰當的公式,總之,面積問題會出現各種意想不到的情況。追本溯源的話,還是對這些概念理解得不透徹,甚至是錯誤的。

對圖形問題的求解,我有一個好的解題思路,那就是逆推,從問題出發,而不是從條件出發去思考。

很多類型的題目都是從給出的條件出發來解決問題,比如題目給出了小明的年齡,爸爸的年齡,那麼我們應該從這兩個年齡以及其他的一些條件來梳理幾個量之間的關系。

但是圖形問題的解法,我一般會告訴孩子,題目求什麼是你解決問題的出發點,比如題目問OE等于多少?你觀察一下圖形,發現如果我能知道DE的長度,就可以求出OE的長度,這就是一個等價轉換的過程。

孩子順著這個思路會想到,如果我知道三角形ADE的面積就好了,因為我知道它的底,這樣就可以順著求出它的高DE,你看,這個問題就轉換成求三角形ADE的面積了,這個時候我們再來看題目的條件,會發現利用題目給的條件,能夠很輕松的求出三角形ADE的面積,這樣,這道題就搞定了。

小數計算問題的技巧除了熟能生巧之外,數位對齊是很關鍵的,由于整數計算的影響,很多孩子會將最右側一位對齊,實際上,小數加減法計算,需要對齊的數位是小數點,只有從這個位置上對上了,計算的結果才是正確的,這一點卻往往被孩子們忽略。

到了四年級,很多家長開始忽視計算的重要性,這也很正常,因為孩子在應用題上出現了失分,一些應用題甚至家長也無法做出來,所以家長會讓孩子將更多的精力用在解應用題上,很多家長也跟我說,要學習數學思維,加強孩子對數學題目的理解。

這種做法也不能說是錯誤的,但基礎不牢地動山搖,計算是數學學習的基礎,四年級雖然還是加減乘除,但參與運算的數字已經不是整數了,而是小數,看起來變化不大,但孩子如果不經過系統的訓練,持續的訓練,在這個環節出問題也是經常發生的事。

四年級的行程問題不會涉及分數比例關系,主要是梳理路程,速度和時間之間的關系,利用基本公式求解這類問題。在解題的過程中,我一般是要求學生畫出線段圖,因為線段圖方法是有效解決行程問題非常適合的方法,線段圖中的線段長度本身就可以表示為路程,根據題意將不同情況下的路程畫出來,根據線段長度關系比照著,很容易就能列出算式,進而求解行程問題。

對于三四年級的數學學習,我認為:

在基礎比較牢固的條件下,可以結合孩子的實際適當地做一些提升。也就是可以做一些思維數學方面的題目,拓展一下孩子的視野,看一看奧數培優類的題目,比如高思數學課本和高思數學競賽導引,奧數教程(小藍本),甚至學而思大通關(大白本)。

三四年級比較強調倍數的運用,但實際上這兩年時間是孩子成長發育的一個很關鍵的時期,可以充分利用這段時間較為系統的學習一下奧數入門知識,適當的引導孩子舉一反三。比如同樣是平均數問題,如果做深入的學習,孩子將會掌握運用平均數知識解決六年級濃度問題的巧妙辦法。

如果孩子的基礎不牢固,切忌盲目學習奧數,老老實實回去做口算,把計算問題完全搞定,然后多培養孩子閱讀,對文字的理解能力要上升一個維度,這樣才能對基礎的小學數學應用題有一個清晰的認識,這對他解決應用題有非常大的幫助,而不是到處報班學一些他掌握不了的東西,這些東西到了五年級他都會忘掉的。

五年級

知識圖譜

 

學習重點

相比前四年,五年級的內容要豐富得多,每個知識點都不能忽視,每個知識點背后的習題都有一定的難度,挑重點說的話,我認為要學好一下幾點。

一,面積

面積問題是小升初常考題型,必須高度重視,而且國中數學以幾何為主,雖然國中數學的幾何是幾何證明題,不是面積求解題,但學好面積,對熟悉圖形,建立圖形思維有非常大的影響。

二、分數

包括分數的加減法,以及由分數關系引發的各種應用題。分數的四則運算既是重點也是難點,小升初考試特別是擇校考中的分數計算問題難度一般都不低。分數關系應用題的考察范圍非常廣,比例份數應用題經常出現在行程問題,工程問題,甚至經濟問題中。

三、方程

在小學低年級,我一直強調不要提前學方程,不要用方程的方法求解應用題,但是到了五年級以后,學生要迅速轉變思維,善于運用方程求解應用題,因為一方面面對小升初考試,方程求解方法簡潔明了,什麼行程問題,工程問題,雞兔同籠,牛吃草,經濟問題統統可以用方程法迅速搞定,另一方面,到了國中,如果不用方程而是用算術方法,很多題要麼非常繞,要麼根本弄不出來。

四、因數倍數

因數倍數屬于初等數論的內容,校內考的不是很難,但在小升初的考試中,如果想把試卷的難題提升一下,因數倍數是一個「重災區」,所以想在小升初考試中拿高分,或者想訓練數學思維,因數倍數必須重視起來。

五、長方體和正方體

長方體和正方體是小升初常考的內容,這個一定要重視起來,這類問題包括表面積的求解,還有體積的求解,難度并不會很大,但是失分率挺高的。

學習方法

面積問題我在上文中有闡述,這里不再贅述。

分數的計算非常有賴于訓練,同時,也需要對特殊數字足夠敏感。五年級的分數加減法,很可能會出現分數裂項計算,這類題是小升初考試中的常客,我認為這種題的所謂解題技巧就是:做一遍。

分數裂項的題目如果是第一次給孩子做,我這邊的情況是,幾乎沒有孩子能做出來,但一旦他做過一遍后,這類題基本上就有思路了,多練習幾遍,這類題就能完全搞定,原因也相當簡單,就是這類題從分解來看是很巧妙的,所以孩子第一次做很可能沒有思路,但這類題的一個特點是,數字來來回回就那麼幾個數,考試時的題目很可能就是孩子做過的原題,所以,見識題型非常重要。

對分數類應用題的求解,我的觀點是要麼用線段圖的方式,畫出各個量之間的份數關系,通過題目給出的邏輯關系,再結合線段圖給出的數量關系求解此類問題。

要麼就結合方程,按照份數設x,比如A是B的4/5,不要設A為x,直接設A為4x,則B為5x,利用份數關系列出方程,求解方程并解決問題。

方程的學習非常有賴于學生的抽象能力,這個能力實際上在二年級的等量代換單元就進行了訓練,三年級經常考的和差問題,本質上就是系數是1的二元一次方程組的求解,是一種最簡單的方程形式,如果二年級的時候基礎打的比較牢固,方程的求解是不存在問題的。

在方程求解中,書本上給出了各種情況的分類,比如去括號法求解方程,通分法或者去分母法求解方程,還有所謂交叉相乘的方法求解方程,這樣的分類當然沒有錯,而且將問題進行類別劃分,有助于簡化問題。

但我在教學的過程中,比較喜歡逆向思維,從已知推未知,用這樣的思想去思考如何去解方程,而不是死記硬背這麼幾種類型,如果有了對解決問題整體上方向上的思考路徑的話,即使出現了一種全新的,學生沒有見過的方程類型,他還是能夠做到舉一反三,自己把方程解出來。

因數和倍數問題,主要是求公因數和公倍數,核心是質因數分解,這個怎麼分解有好幾種辦法,短除法,輾轉相除法等等,本質上是整除和求余的內容,我在講的時候當然也會按照書上的方法進行分類解答,但核心一定要讓孩子明白,因數倍數問題是除法問題,要好好想一下自己在二年級下學期學習除法的時候,是怎麼理解除法的(除法的本質是分配),為什麼會出現同余的情況,只有讓孩子明白了這些,這類題才能做得出,做得對。

長方體和正方體問題,除了把公式記熟之外,還要有「投影」的觀念,很多題目求表面積,看起來很復雜,如果能通過三視圖的觀察,直接把某一個方向上的表面積之和變成一個整體圖形的面積求解,問題就迎刃而解了。

六年級

知識圖譜

學習重點

一、分數計算

六年級引入了分數的乘除法,從算式來看,分數乘除法是要比分數加減法簡單的,但實際出的題目會難倒一部分學生。

二、比例應用題

這實際上包括了好幾種類型的題目,比如基于分數的倍數(份數)應用題,比例關系應用題,以及百分數應用題等等。從形式上來看,這類題可以表現為工程問題,也可以表現為濃度問題,經濟問題,甚至是行程問題,而這幾種問題都是小升初考試的常客,且難度不低。

三、圓、圓柱和圓錐

六年級涉及到了很多圖形方面的知識,這是給國中做好鋪墊,畢竟國中數學的難點就是幾何。

圓的面積是考察的重點,但考試時往往不會簡單的考圓的面積,而是幾個圖形組合形成的復雜圖形,里面有圓(有時僅僅是有圓的雛形),需要孩子們認真思考才能解決。

圓柱和圓錐考側面展開圖會比較多,要清楚這兩個圖形的側面展開圖是什麼樣的,是怎麼展開的,頭腦中要有相應的圖像。

另外,容積問題不容小覷,它往往和圓柱的體積問題結合在一起考察,在一些地方的小升初考試中,經常出現這類復雜的體積求解問題。

學習方法

分數計算是小學數學計算的一個難點,我的建議是買幾套當地歷屆小升初考題,把上面的計算部分好好做一遍,畢竟這類題特點也很鮮明,做過的就會做,沒見過的考試的時候現場做其實是很難搞定的。

對于比例應用題,我是強烈建議用方程來求解的。實際上這類題有很多巧妙的方法,也有很多鍛煉數學思維的思考方式,但是,對于一個六年級的小學生,先把題目做出來,在小升初考試中得到必要的分數是最重要的,所以,我一直要求學生能用方程就用方程,因為方程求解這類題簡直就是量身定做的。

對小學數學題來說,一般的,問什麼設什麼,基本上都能搞定,在設未知數時,要設最小的那個量為x,而不要設別的量為x,因為這樣很容易搞出來一些分數,算式也不好列,計算也容易出錯。

有的老師喜歡教孩子用十字交叉的方法解濃度問題,客觀的說,一些題目這樣做會做的非常快,但這對學生理解濃度問題的解法是有一定的要求的,我還是建議學生用方程求解濃度問題,雖然每道題做的都不是那麼的簡單明快,但好在思路清晰,總是能在不花費太多時間的情況下把題做出來,這樣就行了。

至于圓、圓柱和圓錐問題,對這種幾何問題一定要用「等價」的思想,把圖形做一個轉換,比如圓柱體容器內[插·入]一個鐵棍,水位上升了多少,這種題就需要充分理解鐵棍的體積其實就是擠壓上升的水的體積,通過等量代換的方式,搞定這種復雜問題。

對于五六年級的數學學習,我認為:

如果不是那1%的學生,大家還是回歸校內回歸課本,先把小升初考試應付下來再說,不要去追求那些過偏過難的題目,把校內基礎學扎實,學有余力的話,可以適當的提前學一點兒國中數學,也算是為國中數學打一個基礎。

如果有擇校考和分班考需求的話,建議做一下你所在地區歷年真題,特別是分班考真題,因為畢業考試試卷一般來說都很簡單,參考價值并不大,如果本地的真題不好找,我推薦做一下四川省、湖南省或者陜西省的套卷,有一定的難度,但還不至于到奧數競賽的水平,其他省的題目有點兒簡單了。

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